임피던스 매칭 공식, Impedance Matching Formula, 공학용 계산기, CASIO 9860, 9750

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이전에 올린 글에서는 스미스 차트를 사용하여 임피던스를 매칭하였다.

스미스 차트를 사용하지 않고 매칭 값이 자동 계산 되는 프로그램은 어떻게 작동하는가?  이 글에서는 계산을 통한 임피던스 변환 방법을 참고자료와 함께 글쓴이(DS1ORJ)의 관점에서 기술한다.

※  이 글 끝부분에 임피던스 매칭용 계산 프로그램을 첨부한다. (CASIO 9860, 9750 시리즈용) 

 

※ 아래 글들과 이어지는 글이다.

https://ds1orj.tistory.com/184

임피던스 매칭 (2) 스미스차트 SimSmith

 

https://ds1orj.tistory.com/231

스미스차트 사용법, 임피던스 매칭, how to use smith chart

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직렬 등가회로와 병렬 등가회로의 개념. 

 

우리가 100 옴의 저항이 필요하다고 가정할 때, 100옴 저항이 없다면 어떻게 할까?

그럴때는 200옴 두개를 병렬 연결하거나, 50옴 두개를 직렬 연결하여 100옴을 만들 수 있다는 것은 누구나 알고 있는 사실이다. (사실 이외에도 수 많은 조합이 있을 수 있다)  

 

비슷한 원리로 동일한 임피던스를 갖는 병렬 회로와 직렬 회로가 동시에 존재 할 수 있다.

아래는 그러한 예시 회로를 보인다. 

 

왼쪽의 회로는 1K옴 저항과 100옴 리액턴스(1591pF) 의 병렬 연결로 임피던스는 1MHz 에서 99옴 이다. 

오른쪽의 회로는 9.9옴 저항과 99옴 리액턴스(1607pF) 의 직렬 연결로 임피던스는 1MHz 에서 99옴 이다. 

두 회로는 1MHz 에서 임피던스 99옴으로 완전히 같은 회로라는 것을 알 수 있다.  (전압과 전류의 위상 까지도 두 회로 모두 같다)

 

ZY_CONV.asc

0.00MB

ZY_CONV.plt

0.00MB

 

 

저항(R)과 리액턴스(X)가 서로 연결된 회로에 외부에서 전력을 공급하면 일부는 저항에서 열로 변환되어 소산되고, 일부는 리액턴스(캐패시터 또는 코일)에 저장 된다. 이러한 손실 비율(직렬에서는 Rs/Xs, 병렬에서는 Xp/Rp)을 "Q" 라고 부른다.

 

상기 두 회로의 Q 역시 동일하다. (이것은 중요한 내용이다,  곧 설명할 내용이지만 Q=Rs/Xs=Xp/Rp 이므로 이것을 이용하여 Rs+Xs 직렬 형태를 Rp+Xp 병렬 형태로 변환 할 수 있다.) 

왼쪽의 회로 Q = (병렬저항)/(병렬리액턴스) = Rp/Xp = 1000/100 으로 Q 가 10 이고 

오른쪽의 회로 Q = (직렬리액턴스)/(직렬저항) = Xs/Rs = 99/9.9 으로 역시 Q 가 10 이다. 

Q 가 10 이라는 것은 왼쪽이나 오른쪽 회로 모두 공급되는 전력중 1/10 이 저항에 의해 소산 되었다는 것이다.   

저항이 1000옴 과 9.9 옴으로 100 배 가까이 차이가 나는데 동일한 전력을 소모한다는 것이 말이 안되는거 같지만 실제로 거의 같은 전력을 소모한다.  중요한 사실은,  AC 회로에서 우리는 필요에 따라 직렬 또는 병렬 "등가회로"를 구성하여 임피던스를 동일하게 유지하면서 부하저항 크기를 선택 할 수 있다는 것이다. (상기 회로에서는 1000 옴 과 9.9 옴) 

 

즉, 1K 저항과 100옴 리액턴스가 병렬 연결된 경우 동일한 임피던스의 등가직렬회로는 9.9옴 저항과 99옴의 리액턴스로 구성되며,  거꾸로 말해서 이 두 회로는 임피던스가 동일하므로 내부 회로가 보이지 않는다면 1K 와 100옴 리액턴스가 병렬로 연결되어 있는지, 9.9 옴 저항과 99옴의 리액턴스가 직렬로 연결되어 있는지 외부에서는 식별이 불가능하다. 이러한 이유로 LCR 회로의 값을 측정하는 LCR 미터에는 필요한 관점에 따라 병렬회로로 바라볼 때의 병렬저항(Rp)과 직렬회로로 바라볼 때의 직렬저항(Rs)을 선택하여 보여주는 기능이 있다. 

 

※ 일반적으로 Q 라고 하는 것은 인덕터나 캐패시터에서 내부 저항으로 인한 손실이 얼마나 일어나는지를 나타내는 (품질, 퀄리티) 지표이지만 임피던스 매칭을 진행하는 회로에서는 내부저항이 아니라 부하저항을 나타내므로, 이 값을 기준으로 계산되는 Q 값은 품질과는 무관한 것이다. 즉, 부하저항의 영향으로 Q 가 낮아지면 대역폭만 늘어나며 손실과는 관계 없다. 임피던스 매칭 작업에서는 필요에 의해 부하저항 비율을 조절하여 Q 값(대역폭) 을 변경시키기도 한다.

 

※ 이 글은 아래 링크를 글쓴이의 관점으로 재작성 하는 것이다. 아래 자료는 Chris Bowick 의 RF Circuit Design 을 참고한다. 

https://www.analog.com/en/resources/technical-articles/radio-frequency-impedance-matching-calculations-and-simulations.html

Radio Frequency (RF) Impedance Matching: Calculations and Simulations | Analog Devices

 

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전술한대로 필요에 의해 등가회로를 직렬 <> 병렬 상호 변환 할 수 있다.

등가회로를 변환하려면 아래 수식들이 필요하다.

 

저항(R) 과 리액턴스(X)가 연결되어 있을 때 Q 값을 구하는 식

• 병렬로 연결된 R 과 X 회로의 Q 계산식 : Q = Rp / Xp
• 직렬로 연결된 R 과 X 회로의 Q 계산식 : Q = Xs / Xp 

병렬로 연결된 Rp, Xp 를 Q 를 이용하여 직렬등가회로 Rs, Xs 로 변환할 때 사용하는 식 

• 직렬 저항 : Rs = Rp / (Q^2 + 1)
• 직렬 리액턴스 : Xs = Q *  Rs

직렬로 연결된 Rs, Xs 를 Q 를 이용하여 병렬등가회로 Rp, Xp 로 변환할 때 사용하는 식 

• 병렬 저항 : Rp = (Q^2 + 1) * Rs
• 병렬 리액턴스 : Xp =  Rp / Q

위 수식들을 사용하여 글 상단에 예시로 나온 LTSpice 회로를 계산해보면 아래와 같다.

왼쪽 회로는 Rp=1K 저항과 병렬 연결된 리액턴스 Xp=100옴의 캐패시터이다, Q 를 계산하면 Q=Rp/Xp 는 1000/100=10 이라는 것을 알 수 있다.  이제 Q 를 알고 있으므로 이 값을 사용하여 직렬등가회로로 변환이 가능하다. 

직렬저항 Rs = Rp / (Q^2 + 1) 이므로  Rs = 1K / (10^2 + 1) 는 1000 / 101 = 9.9옴(소수점 첫째자리까지) 이다.  

직렬리액턴스 Xs = Q *  Rs 이므로 Xs = 10 * 9.9 이고 따라서 99 옴이 된다. 

 

즉, Rp=1000, Xp=100 의 병렬 회로는 Rs=9.9, Xs=99 직렬 회로와 등가이다.

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계산을 통한 임피던스 매칭 작업은 몇가지 유형으로 나뉜다. 

 

아래 회로는 L, C 를 사용하여 병렬저항 부하(1K옴) 를 소스(50옴)와 매칭시키는 유형이다.  

최소 구성의 L 매칭 네트웍

 

상기와 같이 회로는 이미 정해져 있으므로 필요한 L, C 값을 계산하면 완료 된다. (글 마지막에 설명하지만 부하 임피던스가 소스보다 더 낮을 경우에는 L 과 C 의 위치가 반대가 되어야 한다) 

핵심은 병렬회로를 직렬등가회로로 변환하여 저항의 임피던스가 내려간 것으로 보이게 되는 성질을 이용하는 것이다.

 

등가회로를 변환하는 수식을 보면 Rp(병렬저항), Xp(병렬리액턴스), Rs(직렬저항),  Xs(직렬리액턴스), Q  등의 변수명을 사용한다. 회로를 보면 L 과 소스저항 50옴이 직렬로 연결 되었음을 알 수 있다. 따라서 직렬 회로이며 Rs=50,  Xs=XL(L의 리액턴스) 가 된다.  C 와 부하저항 1K 옴은 병렬로 연결 되어있다. 두 부품은 병렬 회로 이므로 Rp=1000, Xp=XC(C의 리액턴스) 가 된다.  결과적으로  Rs=50, Xs=XL, Rp=1K, Xp=XC 이고 여기서 Xs, Xp 를 구하면 계산은 끝난다.  

 

Xs, Xp 를 구하는데 필요한 값은 Rs, Rp 및 Q 이다. Rs, Rp 는 이미 알려진 값이므로 Q 값만 구하면 된다.

직렬등가회로의 저항을 구하는 식 Rs = Rp / (Q^2 + 1) 를 직렬등가회로의 Q 를 구하는 식으로 재정렬하면  Q = sqrt( Rp / Rs - 1 ) 가 된다. Rp, Rs 값을 넣어서 계산하면 Q = sqrt( 1000 / 50 - 1 ) = 4.35889.. 이므로 소수점 둘째에서 반올림하여 Q=4.36 이 된다.

 

이제 Rs=50, Rp=1K, Q=4.36 임을 알고 있으므로 C 의 병렬 리액턴스 Xp 는  Q = Rp / Xp 식을 재정렬하여 Xp = Rp / Q 로 구할 수 있다. 계산해보면  Xp = 1000 / 4.36 = 229.35 반올림하면 Xp=229 이다. 따라서 C 의 리액턴스는 229 옴이 필요하다.  같은 방식으로 L 의 리액턴스 Xs 값을 Q = Xs / Rs 식을 재정렬하여 구할 수 있다.  Xs = Q * Rs 이고 Xs = 4.36 * 50=218, 따라서 L 의 리액턴스는 218 옴이다. 

 

결과는  Rs=50, Xs=218, Rp=1000, Xp=229 이다.   

참고로 이 회로에서는 Xs 는 L 이고 Xp 가 C 이다. 이러한 형태를 Low Pass 라고 하며 높은 주파수의 통과를 차단하는 효과를 낸다.  반대로 Xs 를 C 로하고 Xp 를 L 로 하면 High Pass 라고 하며 낮은 주파수를 차단하는 효과를 낸다.

따로 정해진 것은 없으며 용도에 의해 선택된다. (송신기에서는 고조파 차단이 가능한  Low Pass 형태가 선호된다)   

   

리액턴스는 수식을 이용하여 캐패시턴스나 인덕턴스로 환산 할 수 있다.

리액턴스로부터 캐패시터 값을 계산하려면 C = 1 / (2*pi*F*X) 공식을 사용한다. 여기서 F=주파수, X=리액턴스

리액턴스로부터 인덕터 값을 계산하려면 L = X / (2*pi*F) 공식을 사용한다. 여기서 F=주파수, X=리액턴스

계산값은 아래와 같다.

C = 6.9499pF 이므로 6.95pF 로 한다.(편의상 소수점 둘째자리 반올림)

L= 346.96 nH 이다. (편의상 소수점 둘째자리 반올림)

 

※ 리액턴스를 부품값으로 변환하는 계산기용 프로그램(공식)은 아래 게시물을 참고한다.

https://ds1orj.tistory.com/237

리액턴스 공식, Reactance calculator, 캐패시턴스, 인덕턴스, 공학용 계산기

 

 

이 값들로 SimSmith 에서 돌려보면 아래와 같이 50 옴으로 임피던스 매칭이 된 것을 알 수 있다. (약간의 오차는 소수점 반올림 때문인 것으로 추정한다) 

 

 

 

※ 상기 방식으로 임피던스를 매칭 할 경우 임피던스가 높은 쪽을 병렬회로로 간주하고 계산한다. 즉 아래와 같이 부하가 소스보다 저항이 낮다면 병렬 캐패시터는 소스 측에 배치되고, 계산은 소스 측에서 시작되어야 한다. (소스측이 Rp, Xp 가 된다)

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앞서 설명한 단순 매칭 계산에서는 Q 값 변경이 불가능하며, Q 는 소스와 부하 저항 값으로 사전에 결정된 것과 다름이 없다.  여기서 Q 는 대역폭이므로 임피던스 매칭 회로의 대역폭을 변경하고 싶다면 어떻게 해야 할까?

 

그런 경우는 앞서 설명한 LC 매칭회로를 아래 그림과 같이 좌우에 각각 한번씩 두번 적용한다. 따라서 임피던스 변환이 두번 일어나게 된다. 이렇게 하면 중간에 거쳐가는 저항값(아래 회로에서 Rv, 실제로 회로상에 존재하지 않으며 계산에만 등장한다.)을 임의로 결정 가능하게 된다. 바꿔 말해서 저항을 통해 Q 값을 변경 할 수 있게 된다. (Q 는 저항과 리액턴스의 비율이므로 저항을 변경하면 Q 역시 변경 된다.) 

 

 

이 회로는 최종적으로 XP1, XP2 가 하나로 병렬 연결되어 T 매칭 네트웍의 형상을 갖게 된다.

 

상기 회로는 글 처음에 설명한 방식으로 매칭을 하면 Q=4.776  가 될 것으로 추정한다. (Q = sqrt(50 / 2.1 - 1) = 4.776) 

여기서 우리는 Q=4.776 가 아닌 Q=10 을 사용하려고 한다. Q = sqrt(212 / 2.1 - 1) = 10 이므로 2.1옴 부하가 212옴으로 변환되면 Q 는 약 10 이 된다. 따라서 아래와 같은 과정을 거친다.

 

• 이 회로는 1차와 2차 두개의 매칭 회로가 존재한다.(부하측이 1차, 소스측이 2차 이다) 
• 소스의 저항이 50옴으로 정해졌으므로 Q 값에 제한이 걸린다. Q 를 높이려면 2.1옴 부하저항을 50옴 보다 더 높게 만들어야한다. Q=10 이라면 전술한대로 212 옴으로 올려야 한다.
• 직렬회로를 병렬 등가회로로 변환하면 "겉보기 저항" 을 올릴 수 있다. 따라서 1차 매칭은 부하 저항 값을 212옴 까지 올리는 과정(병렬 등가회로로 변환) 이다.
• 2차는 반대 과정이다. 212옴으로 상승한 부하저항 값을 50옴의 소스로 매칭 시켜야 하므로 부하의 "겉보기 저항" 을 50옴으로 낮추는 과정(직렬등가회로로 변환) 이다. 
• 2차 과정에서의 Q 는 낮은 값이며 별도로 지정 할 수 없다. 회로상의 최종 Q 는 설계 중 적용한 가장 높은 값(Q=10)이 된다.  

계산은 아래와 같이 진행한다.

 

• Q 값은 10 으로 미리 지정되어 있다. XS2 는 부하와 직렬이므로, 직렬회로의 Q 계산식을 재정렬한 Xs =Q * Rs 로 값을 계산 할 수 있다. 따라서 XS2 = 10 * 2.1 = 21 이 된다. 
• 병렬등가저항 계산식 Rp = (Q^2 + 1) * Rs 에 값을 대입해서 병렬등가저항을 계산해보면 Rp=(100+1)*2.1 이다. 따라서 Rp=212.1 이 된다. 즉  Rv 는 212.1 옴 이다. Rv 에는 XS2 로 인해 추가된 리액턴스가 함께 존재 한다.
• 병렬 회로의 Q=Rp/Xp 이므로 Xp=Rp/Q 로 재정렬 하여 계산하면 Xp = 212.1 / 10 = 21.21 이다.  따라서 Rv 위치에서는 Rv=212.1 과 병렬 리액턴스 Xp=21.21 이 함께 있는 것으로 보이게 된다. 
• 이 리액턴스는 XS2 로 부터 발생한 용량성 리액턴스 (-21.21) 이므로, 반대 부호인 유도성 리액턴스(+21.21)를 추가하면 사라진다. XP2 는 Rv 위치에 유도성 리액턴스 +21.21 을 제공하여 순저항 성분 Rv=212.1 만 남기는 역할을 한다.
• 이제  50옴 소스측에서 바라보는 부하저항은 212.1 옴으로 보이게 되므로 50 옴을 212.1 옴에 매칭시키면 끝난다. 
• Rs=50, Rp=212.1 이므로 Q 는  sqrt( Rp / Rs - 1 ) 로 계산 된다. 따라서 sqrt( 212.1 / 50 -1) = 1.80,  Q=1.8 
• 소스 50옴 저항과 직렬인 XS1 의 리액턴스 값은 Xs = Q *  Rs 로 구할 수 있다. Xs = 1.8 * 50 = 90, XS1=90
  
• Q=1.8 을 알고 있으므로 212.1 옴과 병렬인 XP1 의 리액턴스 값은 Xp = Rp / Q 로 구할 수 있다. Xp = 212.1/1.8 = 117.83 따라서 XP1 = 117.8 옴, 이 값은 XS1 에 의해서 발생한 리액턴스 이므로 제거(반대 부호로 상쇄)되어야 하는 값이다. 따라서 유도성(인덕티브) 리액턴스 이다.
• XP1 과 XP2 는 동일한 위치에서 병렬이므로 두 값을 합산하여 하나의 부품으로 만들 수 있다.
• 계산 완료

※ 계산시 주의사항

중간에 Q=1.8 인 부분이 있지만, 설계 수치인 Q=10 보다 낮으므로 문제가 되지 않는다.  Q=1.8 과 Q=10 이 연달아 연결된 경우 최종 Q 는 10 보다 작을 수 없다. T 네트웍을 이용한 매칭 계산은 임피던스가 낮은 쪽에서 높은 쪽 방향으로 진행한다. 따라서 이 회로는 부하측(Rload)에서 설계가 시작 되었다.  XS 와 XP 는 서로 부호가 반대인 리액턴스이다. 다시 말해서 XS 가 캐패시터면 XP 는 인덕터가 되고 XS 가 인덕터이면 XP 는 캐패시터가 되어서 서로의 부호를 상쇄시키는 결과를 내야 한다. 

 

※  100MHz 에서 최종 설계값(리액턴스를 값으로 환산)은 아래와 같다.(원문에 나온 값) 

XS1 = 17.68pF    XS2 = 75.79pF

XP1 = 187.5nH    XP2 = 33.76nH 

XP1 과 XP2 는 회로상에서 병렬이므로 하나로 합칠 수 있다. 병렬 연결된 최종값은 28.61nH 가 된다. (187.5 + 33.7 은 저항과 동일하게 역수를 취해서 계산해야 한다)

 

아래는 SimSmith 에서 해당 값으로 임피던스 매칭이 완료된 것을 확인한 것이다.

중간에 Q 를 높이기 위해 임피던스(Rv 위치)를 높였으므로 먼 경로로 돌아간 것을 알 수 있다.

 

Q 가 10 인 매칭 부분을 제외하고 Q 가 1.8 일때의 대역폭만 보면 상당히 넓은 것이 보인다. 

Q 가 낮으므로 당연한 것이지만.. 

 

Q=1.8 + Q=10 일 경우 정상적인 대역폭으로 줄어든 것을 확인 할 수 있다.  

 

원문에 대한 내용은 여기까지이며 윈문보다 쉽게 설명하려고 했지만 독자에 따라 더 어려울 수도 있다.

(필요시 원문의 내용도 참고하기 바란다.)

아래는 원문에 제공되는 계산식을 이용하여 임피던스 매칭을  하는 공학용 계산기용 프로그램이다. 

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글쓴이(DS1ORJ) 가 제공하는 프로그램은 CASIO 9860, 9750 시리즈에서 작동한다.  QMATCH 는 글쓴이가 임의로 부여한 프로그램 이름이며 큰 의미는 없다, Quick 으로 생각해도 좋고 Q Factor 의 Q 라 생각해도 상관없다.

글에서 설명한대로 L 네트웍과 T 네트웍 두가지가 있다. 각 네트웍은 L 이 먼저냐 C 가 먼저냐에 따라 나눠진다.

최종 계산값은 리액턴스를 해당 주파수에 대해 계산한 부품 값(캐패시턴스, 인덕턴스)이므로 실전에 바로 응용 가능하다. 

 

※ 번호 또는 방향키로 4 개중 하나를 선택한다. (아래를 따른다.)

1. L 네트웍  L직렬, C병렬  (높은 임피던스측이 C 와 병렬인 회로)

2. L 네트웍  C직렬, L병렬  (높은 임피던스측이 L 과 병렬인 회로)

3. T 네트웍, C직렬, L병렬, C직렬 

4. T 네트웍, L직렬, C병렬, L직렬

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1,2 번 프로그램은 원문과 완전히 동일한 공식이다.  높은 임피던스를 먼저 입력(High Rp)하고, 낮은 임피던스를 두번째로 입력(Low Rs)한다.  매칭은 높은 쪽(Rp)에서 낮은 쪽(Rs)으로 진행된다. 1번은 Rp 에 병렬 접속되는 리액턴스가 C 로 지정되고 따라서 Rs 에 직렬 L이 붙게 된다. 2번은 Rp에 병렬 접속되는 리액턴스가 L 로 지정되고, 따라서 Rs 에 직렬 C 가 붙게 된다.  MHz 단위 주파수를 입력하면 리액턴스가 L, C 값으로 최종 계산이 되어 출력된다.

단위가 nH 와 pF 이므로 HF 대에서는 다소 큰 값을 보게 될 수도 있다. (리액턴스는 참고용으로 같이 출력된다) 

 

아래는 글의 예제와 동일한 값을 입력한 모습

필요한 부품 값과 리액턴스가 출력된다.  전술한대로 임피던스가 높은 쪽이 Rp 이다.

1번이면 Rp, Cp 병렬이고,  Rs, Ls 는 직렬 연결이다 

2번이면 Rp, Lp 병렬이고, Rs, Cs 는 직렬 연결이다.

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3,4 번 프로그램 역시 원문과 완전히 동일한 공식이다.

낮은 임피던스(Low R)를 먼저 입력하고, 높은 임피던스(High R)를 두번째로 입력한다.  매칭은 낮은 쪽에서 높은 쪽으로 진행된다. 세번째로 필요한 Q 값을 입력한 후,  마지막에 MHz 단위 주파수를 입력하면 최종 계산이 되어 출력된다.

아래는 글의 예제와 동일한 값을 입력한 결과이다.

이 방식에서 T 매칭은 L 매칭을 두번 한 것과 같다. Q1 은 첫번째 매칭에 사용된 Q 값(Q1),  즉 지정된 값이고 

두번째 매칭에 사용된 Q값(Q2)은 매칭 중 자동 생성된 값이다. 두 Q 값 중 높은 값이 우선한다.

 

3번 프로그램은 C직렬, L병렬, C직렬 순서로 값을 변환하여 출력하고,

4번 프로그램은 L직렬, C병렬, L직렬 순서로 값을 변환하여 출력한다.

따라서, 3번이면 XS1, XS2 는 캐패시터이고 XP는 인덕터 이다.  4번이면 XS1, XS2 는 인덕터이고, XP 는 캐패시터이다.   

XS1 은 임피던스가 높은 측(High R)과 직렬이고, XS2 는 임피던스가 낮은 측(Low R)과 직렬이다.

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필요한 경우 아래 프로그램을 다운로드 받아서 계산기에 넣으면 된다.

CASIO 9860, 9750 시리즈에서 작동한다. 단순히 글을 읽는것 보다는 직접 계산을 해보는 것이 이해에 도움이 될 것이다. 

QMATCH.G1M

0.00MB

 

이전 글을 읽었다면 이미 알겠지만, 이 계산기는 자체적인 코드 페이지를 사용하므로 붙여넣기를 하면 기호가 다 깨져서 볼 수 없게 된다. 소스는 CASIO FA-124 프로그램을 설치하면 직접 편집이 가능하다. 

 

아래는 깨진 것이 아니고 마지막 줄이다.